Свойства бесконечно малых

Свойства бесконечно малых

· Сумма конечного числа нескончаемо малых — нескончаемо малая.

· Произведение нескончаемо малых — нескончаемо малая.

· Произведение нескончаемо малой последовательности на ограниченную — нескончаемо малая. Как следствие, произведение нескончаемо малой на константу — нескончаемо малая.

· Если an — нескончаемо малая последовательность, сохраняющая символ, то — нескончаемо большая последовательность.

15. Производная функции: определение, геометрический и физический смысл.

Производная (функции в точке) — основное Свойства бесконечно малых понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость конфигурации функции (в данной точке). Определяется как предел дела приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некой точке), именуют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной именуется Свойства бесконечно малых дифференци́рованием. Оборотный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Физический смыслПредположим, что функция у = f (x) обрисовывает закон движения вещественной точки М по прямой полосы, т.е. y = f (x) — путь, пройденный точкой М от начала отсчета за время х. Тогда за время х0 пройден путь y = f (x0), а за время х1 — путь Свойства бесконечно малых y = f(x1). За просвет времени Δх= х1 - х0 точка М пройдет отрезок пути Δ y = f (x1) - f (x0) = f (х0+ Δх) - f(x0).
Отношение именуется средней скоростью движения за время Δх, а предел дела определяет секундную скорость точки в момент времени х0. Производная функции в Свойства бесконечно малых данной точке охарактеризовывает скорость конфигурации функции в данной точке.

Геометрический смысл: Производная функции y = f(х) при х = xо равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке Мо(хо, f(xо)), т. е. , где а — угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы координат. Уравнение касательной к полосы у Свойства бесконечно малых = f(x) в точке Мо(хо, уо ) воспринимает вид

Нормалью к кривой в некой ее точке именуется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f(x0) не равно 0, то уравнение нормали к линииу = f(x) в точке Мо(хо, уо) запишется так: . (уравнение касательной)Она выражает Свойства бесконечно малых геометрический смысл производной. Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

16. Главные правила дифференцирования. Дифференцирование простых функций.

Ключевики: функция, производная, правила нахождения производной, непростая функция

Производная— основное понятие дифференциального исчесления, характеризующее скорость конфигурации функции. Производная - это Свойства бесконечно малых предел дела приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, именуют дифференцируемой. Процесс вычисления производной именуется дифференцированием. Главные правила дифференцирования:

· производная суммы, производная разности

· производная произведения функций

· производная личного 2-ух функций (производная дроби)

Дифференцирование Свойства бесконечно малых простых функций. В главном дифференцирование главных простых функций, которые обычно именуют таблицей производных.

17. Приложения производной (на примере).

К приложениям относят 1. 1-ая производная; 2. Аналитические признаки возрастания; 3. Исследования на экстремум и убывания; 4. 2-ая производная; 5. Аналитические признаки неровности и вогнутости; 6. Исследование на точки пepeгиба

Пример. Число 64 разбить на такие две части, чтоб они в Свойства бесконечно малых произведении давали максимум. Обозначим две разыскиваемые части а и b Тогда а + Ь = 64 Требуется отыскать максимум произведения, т. е. изучить на экстремум функцию у = ab , либо у = а (64-а). Берем производную у' = 64-2а и приравниваем ее нулю: 64 - 2а = 0, откуда а = 32. Тогда b = 64 - а 32, а ymax=ab = 32*32 = 1024.

18. Элементы комбинаторики: главные Свойства бесконечно малых понятия, правила комбинаторики.

Комбинаторика – это раздел арифметики, посвященный задачке выбора и расположения частей некого конечного огромного количества в согласовании с данными правилами. Каждое такое правило определяет метод построения некой конструкции из частей начального огромного количества, именуемой комбинаторной конфигурацией.

Факториал числа n (обозначается n!, произносится эн факториал Свойства бесконечно малых) — произведение всех натуральных чисел до n включительно: Огромное количество – это набор, совокупа каких-то полностью различаемых объектов, именуемых его элементами, владеющими общими для всех их и только их качествами, и рассматриваемых как единое целое.

Сначала, каждое огромное количество состоит из того либо другого набора объектов, которые именуются элементами огромного количества Свойства бесконечно малых.

Для формулировки и решения комбинаторных задач употребляют разные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:

· Размещением из n частей по k именуется упорядоченный набор из k разных частей некого n-элементного огромного количества.

· Перестановкой из n частей (к примеру чисел 1,2,…,n) именуется всякий упорядоченный набор из этих частей Свойства бесконечно малых. Перестановка также является размещением из n частей по n.

· Сочетанием из n по k именуется набор k частей, избранных из данных n частей. Наборы, отличающиеся только порядком следования частей (но не составом), числятся схожими, этим сочетания отличаются от размещений.

· Композицией числа n именуется всякое представление n в виде упорядоченной суммы Свойства бесконечно малых целых положительных чисел.

· Разбиением числа n именуется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.

Правило сложения (правило «или») — одно из главных правил комбинаторики, утверждающее, что, если элемент A можно избрать n методами, а элемент B можно избрать m методами, то избрать A либо B можно Свойства бесконечно малых n + m методами.

Правило умножения (правило «и») — одно из главных правил комбинаторики. Согласно ему, если элемент A можно избрать n методами, и при любом выборе A элемент B можно избрать m методами, то пару (A, B) можно избрать n·m методами. Естественным образом обобщается на произвольную длину последовательности.

19. Элементы Свойства бесконечно малых комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания (без повторений)

Перестановкой без повторений n - размещение без повторений из этих частей по n. Число всех перестановок без повторений из n частей обозначается Р n (от фр. Permutation – перестановка) и находится при помощи последующей формулы. (сколькими методами можно рассадить 3 чел. На 3 стула). Важен только порядок

Cочетаниямибез повторений Свойства бесконечно малых из т по nназываются n-элементные подмножества т-элементного огромного количества

От размещений сочетания отличаются тем, что порядок частей в их несущественен. Число всех сочетаний без повторений из т по n обозначается эмблемой С (от фр. combination – сочетание) и находится по последующей формуле.

. В сочетании важен только состав. Пример: сколькими методами можно Свойства бесконечно малых избрать актив 5 чел. Из 35. Число различных размещений без повторений из nпо mнаходится при помощи формулы. (пример, сколькими методами распределяться золотые, сер, и бронз. медали) Важен и порядок и состав.

20. Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания (с повторениями)

Размещение с повторениями: Если выбор частей огромного количества из Х происходит с возвращением Свойства бесконечно малых, т.е. каждый элемент огромного количества Х может быть избран пару раз, то число размещений из n по k находится по формуле (размещения с повторениями).

Перестановки с повторениями: Всякое размещение с повторениями, в каком элемент повторяется раз, элемент повторяется раз и т.д. элемент повторяется раз, где Свойства бесконечно малых , , , — данные числа, именуется перестановкой с повторениями порядка

в какой данные элементы повторяются соответственно , , раз.

Аксиома. Число разных перестановок с повторениями из частей , в каких элементы повторяются соответственно раз, равно

Сочетания с повторениями: Если каждому элементу некого конечного огромного количества поставлено в соответствие целое неотрицательное число — кратность данного элемента Свойства бесконечно малых, то молвят, что задано сочетание с повторениями. Сумма кратностей всех частей именуется порядком сочетания. Всякое сочетание с повторениями -го порядка, составленное из огромного количества, содержащего частей, именуется также сочетанием с повторением из частей по . Если — кратности частей , то по определению есть порядок сочетания

Аксиома. Число сочетаний с повторениями из частей Свойства бесконечно малых по выражается формулой

21. Предмет и задачки теории вероятности. Области внедрения способов теории вероятностей.

Теория вероятностей — раздел арифметики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные действия, случайные величины, их характеристики и операции над ними. Исходя из понятия можно сказать, что предмет теории вероятности- те закономерности, возникающие в случайных опытах. В качестве случайных тестов Свойства бесконечно малых выступают те, итог которых нельзя предсказать заблаговременно. Вероятностью действия А именуется отношение числа исходов, подходящих событию А, к числу всех исходов тесты. В качестве задач теории вероятности выступает не только лишь исследование случайных величин, да и случайных процессов. Также и позволяет по вероятностям одних случайных событий отыскивать вероятности Свойства бесконечно малых других случайных событий, связанных любым образом с первыми.

Область внедрения способов теории вероятностей очень пространна: В 19 и 20 столетиях теория вероятностей просачивается сначала в науку (астрономию, физику, биологию), позже в практику (сельское хозяйство, индустрия, медицину), и в конце концов, после изобретения компов, в ежедневную жизнь хоть какого человека, пользующегося современными Свойства бесконечно малых средствами получения и передачи инфы. Статистические способы все в более значимой мере начинают привлекаться к историческим исследованиям, в особенности в археологии.

22. Главные элементы теории вероятностей. Случайные действия: понятия, виды случайных событий.

Под испытанием (опытом) в теории вероятностей принято осознавать наблюдение какого-нибудь явления при соблюдении определенного комплекса критерий, который Свойства бесконечно малых должен всякий раз строго производиться при повторении данного тесты. Если то же самое явление наблюдается при другом комплексе критерий, то это уже другое испытание. Высококачественная черта заключается в регистрации какого-нибудь явления, которое может наблюдаться либо не наблюдаться при данном испытании. Хоть какое из этих явлений именуется в теории вероятностей событием Свойства бесконечно малых. Действия делятся на:

Неосуществимые(в итоге опыта никогда не произойдут), Достоверные(в итоге опыта происходят всегда), Случайные(в итоге опыта событие может произойти либо не произойти).

Теория вероятностей рассматривает конкретно случайные действия. При всем этом подразумевается, что испытание может быть повторено неограниченное (по последней мере, на теоретическом уровне) число Свойства бесконечно малых раз. К примеру, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо — событие. Таким макаром, событие рассматривается как итог тесты. Все случайные действия можно поделить на:

· несовместные; (Случайные действия (А, В, С, D … ) именуются несовместными,если возникновение 1-го из их исключает возникновение других событий в Свойства бесконечно малых одном и том же испытании. Пример. Подброшена монета. При ее падении возникновение «герба» исключает возникновение «решки» (надписи, определяющей стоимость монеты). Действия «выпал герб» и «выпала решка» несовместные. Для несовместных случайных событий производится аксиома сложения вероятностей: возможность возникновения 1-го, но все равно какого, из нескольких несовместных событий А1, А2, А3 … Аk Свойства бесконечно малых равна сумме их вероятностей: Р(А1либо А2 … либо Аk) = Р(А1) + Р(А2) + …+ Р(Аk).)

· независящие;( Случайные действия именуются независящими, если возникновение 1-го из их никак не оказывает влияние на возможность возникновения других событий. Пример . Если есть две либо более урны с цветными шарами, то извлечение какого Свойства бесконечно малых-нибудь шара из одной урны никак не воздействует на возможность извлечения других шаров из оставшихся урн. Для независящих событий справедлива аксиома умножения вероятностей: возможность совместного (одновременного) возникновения нескольких независящих случайных событий равна произведению их вероятностей: Р(А1и А2 и А3 … и Аk) = Р(А1) ∙Р(А2) ∙…∙Р(Аk Свойства бесконечно малых).)

· зависимые.( Случайные действия А и В именуются зависимыми, если возникновение 1-го из их, к примеру, А изменяет возможность возникновения другого действия – В. Потому для зависимых событий употребляются два значения вероятности: безусловнаяи условнаявероятности.Если А и В зависимыесобытия, то возможность пришествия действия В первым (т.е. до действия А) именуется бесспорной вероятностью Свойства бесконечно малых этого действия и обозначается Р(В).Возможность пришествия действия В при условии, что событие А уже вышло, именуется условной вероятностьюсобытия В и обозначается Р(В/А) либо РА (В).Аналогичный смысл имеют бесспорная – Р(А) и условная – Р(А/В) вероятности для действия А. Аксиома умножения вероятностейдля 2-ух зависимых событий Свойства бесконечно малых: возможность одновременного пришествия 2-ух зависимых событий А и В равна произведению бесспорной вероятности первого действия на условную возможность второго: Р(А и В) = Р(А) ∙Р(В/А))

23. Возможность случайного действия: определение, методы вычисления вероятности.

Возможность какого или действия – численное выражение способности его пришествия. Возможность действия А Свойства бесконечно малых равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных несовместных исходов опыта:

Методы вычисления вероятностей

1. традиционный метод. Вероятностью действия А именуется отношение числа исходов, подходящих событию А, к числу всех исходов тесты. К примеру, возможность возникновения четного числа очков при одном бросании игральной кости равна Свойства бесконечно малых 1/2, т.к. число всех исходов 6, а число исходов, подходящих событию А — три. Возможность действия А обозначают Р(А); число исходов, подходящих событию А, через т(А); число всех исходов — через п. Тогда по определению .

2. геометрический При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве места простых событий рассматривается случайное огромное количество конечной лебеговой Свойства бесконечно малых меры на прямой, плоскости либо пространстве. Событиями именуются различные измеримые подмножества огромного количества . Возможность действия А определяется формулой где обозначает лебегову меру огромного количества А. При таком определении событий и вероятностей все теоремы А.Н.Колмогорова производятся. В определенных задачках, которые сводятся к обозначенной выше вероятностной схеме Свойства бесконечно малых, испытание интерпретируется как случайный выбор точки в некой области , а событие А – как попадание избранной точки в некую подобласть А области . При всем этом требуется, чтоб все точки области имели схожую возможность быть избранными. Это требование обычно выражается словами «наудачу», «случайным образом» и т.д.

3. статистический (Этот метод ориентирован на многократное Свойства бесконечно малых установление частоты возникновения действия с разным числом объектов в рамках некого тесты. Возможность рассматриваемого действия будет равна среднему арифметическому приобретенных частот. p=(p1 + p2+p3 + …+pk) / k, где р – статистическая возможность.

Возможность действия в данном испытании именуется число, около которого «группируются» относительные частоты при нескольких)

24. Аксиома сложения Свойства бесконечно малых несовместных событий

Суммой 2-х несовместных событий A+B именуется событие, состоящее в возникновении или действия А, или действия B. Аксиома. Возможность суммы 2-х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий p(A+B)=p(A)+p(B)

Подтверждение.

Если n - общее число всех простых исходов;

m1 -- число исходов подходящих событию A Свойства бесконечно малых;

m2 -- число исходов подходящих событию B;

25. Полная группа событий. Обратные действия.

По́лной гру́ппой собы́тий в теории вероятностей именуется система случайных событий такая, что в итоге произведенного случайного опыта обязательно произойдет одно из их. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1. Представим, проводится подкидывание монеты Свойства бесконечно малых. В итоге этого опыта непременно произойдет одно из последующих событий:

· : монета свалится соколом; : монета свалится решкой; : монета свалится на ребро;

Таким макаром, система является полной группой событий.Аксиома. Сумма вероятностей событий А1 , А2 , ..., Аn , образующих полную группу, равна единице:Р (A1) + Р (А2) + ... + Р (Аn) = 1.

Обратные действия.Это два единственно Свойства бесконечно малых вероятных действия, образующих полную группу. Если одно из 2-ух обратных событий обозначено через A, то другое принято обозначать . Сумма вероятностей обратных событий равна единице: . обратные действия образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. Аксиому о полной группе событий).

26. Аксиома умножения вероятностей независящих Свойства бесконечно малых событий.

Пусть возможность действия В не находится в зависимости от возникновения действия А. Событие В именуют независящим от действия А, если возникновение действия А не изменяет вероятности действия В, т. е. если условная возможность действия В равна его бесспорной вероятности: РA (В) = Р (В) Аксиома умножения независящих событий; P(AB) = P Свойства бесконечно малых(A)*P(B) - возможность одновременного пришествия 2-ух независящих событий равна произведению вероятностей этих событий. Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе 1 и 2 орудий соответственно равны: р1=0,7; р2=0,8. Отыскать возможность попадания при одном залпе обоими орудиями сразу. Решение: как мы уже лицезрели действия А (попадание 1 орудия) и В Свойства бесконечно малых (попадание 2 орудия) независимы, т.е. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=р1*р2=0,56.

27. Условная возможность. Аксиома умножения вероятностей зависимых событий.

Условной вероятностью РA (В) именуют возможность действия В, вычисленную в предположении, что событие А уже пришло. Исходя из традиционного определения вероятности, формулу РA (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р Свойства бесконечно малых (А) > 0 можно обосновать. Это событие и служит основанием для последующего общего (применимого не только лишь для традиционной вероятности) определения.(например, в корзине темные и белоснежные шары. Отыскать возможность выпадения темного шара, если перед этим растянули белоснежный). Условная возможность действия В при условии, что событие А уже пришло, по определению Свойства бесконечно малых, равна РA (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р(A)>0).

Аксиома умножения вероятностей зависимых событий где - возможность действия B при условии, что вышло событие A.

28. Аксиома сложения вероятностей совместных событий.

Суммой 2-х совместных событий именуют событие, состоящее в возникновении или действия A, или действия B, или обоих сходу. Аксиома. Возможность Свойства бесконечно малых суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного возникновения. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB)

Подтверждение: А+В=АВ+АВ+АВ (сумма несовместных пар) б Тогда р(А+В)=р(АВ)+р(АВ)+р(АВ), Событие A=AB+AB, Событие B=AB+AB Свойства бесконечно малых; p(A+B)=p(A)−p(AB)+p(B)−p(AB)+p(AB)=p(A)+p(B)−p(AB)

29. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Формула полной вероятности позволяет вычислить возможность интересующего действия через условные вероятности этого действия в предположении некоторых гипотез, также вероятностей этих гипотез. Разглядим возможность действия А Свойства бесконечно малых, которое может наступить при условии возникновения 1-го из попарно независящих событий , , …, , образующих полную группу. Действия , , …, в данном случае именуются догадками. Вероятности возникновения гипотез P( ), P( ), …, P( ), также условные вероятности возникновения действия А при пришествии каждой догадки (А), (А), …, (А) будем считать известными.

Аксиома. Возможность действия А, которое Свойства бесконечно малых может наступить только при условии возникновения 1-го из попарно независящих событий , , …, , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на подобающую условную возможность действия А:P(А)= P( )× (А)+P( )× (А)+…P( )× (А)= .Эту формулу именуют формулой полной вероятности.Формула Байеса является принципиальным следствием из формулы Свойства бесконечно малых полной вероятности действия, зависящего от нескольких несовместных гипотезФормула Байеса:

,где — априорная возможность догадки A (смысл таковой терминологии см. ниже);

— возможность догадки A при пришествии действия B (апостериорная возможность);

— возможность пришествия действия B при истинности догадки A;

— полная возможность пришествия действия B.

30. Повторение испытаний (схема Бернулли). Формула Бернулли.

Проводятся опытов, в Свойства бесконечно малых каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью (либо не произойти — «неудача» — ). Задачка — отыскать возможность получения ровно фурроров в опыте.

Решение:

Количество фурроров — величина случайная, которая имеет рассредотачивание Бернулли.

Под схемой Бернулли понимают конечную серию повторных независящих испытаний с 2-мя финалами. Возможность возникновения (фортуны) 1-го финала при Свойства бесконечно малых одном испытании обозначают , а непоявления (беды) его . Я. Бернулли установил, что возможность ровно фурроров в серии из повторных независящих испытаний рассчитывается по последующей формуле:

31. Дискретные и непрерывные случайные величины (определения, примеры).

Случайная величина — это величина, которая воспринимает в итоге опыта одно из огромного количества значений, причём возникновение того Свойства бесконечно малых либо другого значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Она разделяется на дискретную и непрерывные случайные величины

Случайная величина именуется дискретной случайной величиной(ДСВ), если она воспринимает менее чем счетное число значений. Задание дискретной случайной величины по определению равносильно заданию закона рассредотачивания случайной величины в последующем виде: ; где Примеры Свойства бесконечно малых ДСВ: валютный выигрыш в какой-либо лотерее, либо количество очков при бросании игральной кости.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) именуют случайную величину, которая может принимать все значения из некого конечного либо нескончаемого промежутка. Огромное количество вероятных значений непрерывной случайной величины нескончаемо и несчетно. Для того чтоб случайная величина была непрерывной случайной Свойства бесконечно малых величиной, нужно и довольно, чтоб для хоть какого . Пример: измерение скорости перемещения хоть какого вида транспорта либо температуры в течение определенного интервала времени

32. Дискретные случайные величины. Ряд рассредотачивания и функция рассредотачивания вероятностей

Случайная величина именуется дискретной случайной величиной(ДСВ), если она воспринимает менее чем счетное число значений. Более ординарную форму можно Свойства бесконечно малых придать закону рассредотачивания дискретной случайной величины. Рядом рассредотачивания дискретной случайной величины именуется таблица, в какой перечислены в порядке возрастания все вероятные значения случайной величины X: x1, x2, …, xn, … и вероятности этих значений p1, p2, …, pn, …, где pi=P{X=xi} – возможность того, что в итоге опыта СВ Х Свойства бесконечно малых воспримет значение xi (i=1,2,…, n, …).

X x1 x2 xn
P p1 p2 pn

Ряд рассредотачивания записывается в виде таблицы:

Потому что действия {X=x1}, {X=x2}, … несовместны и образуют полную группу, то сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке равна единице:

Функция рассредотачивания случайной величины - это возможность того, что Свойства бесконечно малых случайная величина (назовём её ξ) воспримет значение наименьшее, чем конкретное числовое значение x: F(X) = P(ξ < X). Для дискретной случайной величины функция рассредотачивания рассчитывается для каждого значения как сумма вероятностей, соответственных всем предыдущим значениям случайной величины. Ниже будет приведён пример, разъясняющий смысл произнесенного.

33. Непрерывные случайные величины. Плотность рассредотачивания вероятностей.

Непрерывной случайной величиной Свойства бесконечно малых (НСВ) именуют случайную величину, которая может принимать все значения из некого конечного либо нескончаемого промежутка. Огромное количество вероятных значений непрерывной случайной величины нескончаемо и несчетно.

Случайную величину Х именуют непрерывной (безпрерывно распределенной) величиной, если существует такая неотрицательная функция p(t), определенная на всей числовой оси, что для всех х Свойства бесконечно малых функция рассредотачивания случайной величины F(x) равна: При всем этом функция p(t) именуется плотностью рассредотачивания вероятностейнепрерывной случайной величины. Если таковой функции p(t) не существует, то Х не является безпрерывно распределенной случайной величиной. Таким макаром, зная плотность рассредотачивания, по формуле можно просто отыскать функцию рассредотачивания Свойства бесконечно малых F(x). И, напротив, по известной функции рассредотачивания можно вернуть плотность рассредотачивания:

34. Числовые свойства дискретных случайных величин.

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её вероятных значений на их вероятности: M(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отличия случайной величины от Свойства бесконечно малых её математического ожидания: D(X) = (x1 - M(X))2p1 + (x2 - M(X))2p2 + ... + (xn- M(X))2pn = x21p1 + x22p2 + ... + x2npn - [M(X)]2

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение либо среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X)

Мода дискретной случайной величины Свойства бесконечно малых Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее самую большую возможность. На многоугольнике рассредотачивания мода - это абсцисса самой высочайшей точки. Бывает, что рассредотачивание имеет не одну моду.

Коэффициент варианты случайной величины - это относительная мера варианты. V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%

Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины (и дискретной Свойства бесконечно малых, и непрерывной) As(X) - величина, характеризующая степень асимметрии рассредотачивания относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии дискретной случайной величины рассчитывается по формуле: As(X) = [(x1-M(X))3p1 + (x2-M(X))3p2 + ... + (xn-M(X))3pn]/σ3

35. Числовые свойства непрерывных случайных величин.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины рассчитывается по формуле: А именно, если с Свойства бесконечно малых.в. задана собственной плотностью вероятности на каком-либо отрезке, то и интеграл вычисляем на этом отрезке.

Дисперсия непрерывной случайной величины рассчитывается по формуле:

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины, оно же стандартное отклонение либо среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X)

Мода непрерывной Свойства бесконечно малых случайной величины Mo(X) - значение с.в., имеющее самую большую возможность. Если в задачке требуется найти моду - находим экстремум (максимум) плотности вероятности f(x).

Коэффициент варианты непрерывной случайной величины рассчитывается по той же формуле, что и для дискретной с.в.: V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%

Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной Свойства бесконечно малых величины As(X) - величина, характеризующая степень асимметрии рассредотачивания относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии непрерывной случайной ←величины рассчитывается по формуле:

Если коэффициент асимметрии отрицателен, то или большая часть значений случайной величины, или мода находятся левее математического ожидания, и напротив, если As(X)>0, то правее.

Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины Ex(X) - величина Свойства бесконечно малых, характеризующая степень островершинности либо плосковершинности рассредотачивания. Коэффициент эксцесса непрерывной случайной величины рассчитывается по формуле:

36. Биномиальный закон рассредотачивания. Рассредотачивание Пуассона.

Биноминальное рассредотачивание - это рассредотачивание вероятностей вероятных чисел возникновения действия А при n независящих испытаниях, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью Р Свойства бесконечно малых(А) = р = const. Не считая действия А может произойти также обратное событие Ā, возможность которого Р(Ā) = 1 - р = q.

Вероятности хоть какого числа событий соответствуют членам разложения двучлена Ньютона в степени, равной числу испытаний:

где pn
svojstva-i-vidi-vnimaniya.html
svojstva-intellektualnoj-lichnosti.html
svojstva-kategorij-prostranstva-i-vremeni-v-klassicheskoj-fizike.html