Свойства функций, непрерывных в точке.

Свойства функций, непрерывных в точке.

Выражают последующие аксиомы:

Аксиома1: Если функции f(x) и φ(x) непрерывны в точке х0 , то также непрерывны в этой точке их сумма f(x)+φ(x), разность f(x)-φ(х), произведение и личное при условии .


Т.к. непрерывные в точке х0 функции f(x) и φ(х) имеют в этой точке пределы равные f Свойства функций, непрерывных в точке.(x0) и φ(х0), то пределы суммы, разности, произведения, личного есть и равны соответственно f(x0)+φ(x0), f(x0)-φ(х0), , .

А эти величины равны значениям соответственных функций в точке х0, как следует функции f(x)+φ(x), f(x)-φ(х), , непрерывны в точке х0 .

Следствие1: Целая рациональная функция либо непрерывна при Свойства функций, непрерывных в точке. всех х.

Следстви2: Дробная рациональная функция:

непрерывна при всех х, для которых знаменатель не равен нулю.

Аксиома2: Если функция φ(х) непрерывна в точке х0 , а функция f(x) непрерывна в точке y0 =φ(x0), то непростая функция F(x)=f(φ(x)), непрерывна в точке х0 .

Аксиома3: Все Свойства функций, непрерывных в точке. главные простые функции непрерывны там, где они определены.


1) Отыскать предел

Решение:

Т.к. функция непрерывна в точке , т.е. , то переходя к лимиту получаем:

2)

Решение:

Переходя к предельному значению аргумента, получаем неопределенность вида .

f(x) не определена в точке х=0, т.е. не является непрерывной в этой точке. Означает сходу Свойства функций, непрерывных в точке. перебегать к лимиту нельзя, нужно функцию конвертировать так, что бы при х≠0 она совпала с функцией, непрерывной в точке х0. Для этого числитель и знаменатель умножим на выражение сопряженное числителю:

Разглядим функцию y=f(x), определенную на интервале (а,в) не считая может быть, точки х0 (а,в)

Определение Свойства функций, непрерывных в точке.: Точка х0 именуется, точкой разрыва данной функции, если в ней функция определена, но не является непрерывной, либо не определена в этой точке.

Определение: Если х0- точка разрыва функции f(x) и есть конечные пределы слева и справа:

, , то она именуется точкой разрыва первого рода.

Величина - именуется скачком функции Свойства функций, непрерывных в точке. в точке х0 .


В точке х0 =0 – разрыв первого рода

В точке х0 =0 f(x)- не определена

Скачок: -2.

Определение: Если функция y=f(x) имеет разрыв в точке х0 и = , тогда х0 именуется точка устранимого разрыва.


в точке х0 =0 – устранимый разрыв

В точке х0 =0 функция не определена,

Определение: Если х0 точка разрыва и по последней Свойства функций, непрерывных в точке. мере один из однобоких пределов слева либо справа является нескончаемым либо не существует, то х0 именуется точкой разрыва второго рода.

х0 =0 разрыв второго рода

1)

2)

31. Непрерывность функции на отрезке. Аксиомы о непрерывностях функций.

Функция именуется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой его точке (в точке a Свойства функций, непрерывных в точке. непрерывна справа, в точке b слева).

Если функция определена в точке x=a и при всем этом предел

ƒ(x)=ƒ(a), то функция непрерывна справа, аналогично если

ƒ(x)=ƒ(a), то непрерывна слева.

Аксиома 1 (1-ая аксиома Коши)

Пусть функция ƒ(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка имеет значения различных символов, тогда Свойства функций, непрерывных в точке. существует точка в какой ƒ(с)=0.

y
b
a
c
x
0

Аксиома 2 (2-ая аксиома Коши)

Пусть функция ƒ(x) непрерывна на отрезке [a,b], причемƒ(a)=A, ƒ(b)=B, где A≠B. Тогда какое бы ни было число С, заключенное меж А и B, найдется такая точка , что ƒ(с)=С.

y
b Свойства функций, непрерывных в точке.
a
c
x
A
C
B
0

Определение. Функция именуется ограниченной на отрезке [a,b] если существует число M>0 такое, что для производится неравенство | ƒ(x)≤M|.

y
b
a
x
-M
M
0

Аксиома 3 (1-ая аксиома Вейерштрасса)

Если функция ƒ(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], то Свойства функций, непрерывных в точке. она ограничена на этом отрезке.

Замечание:

Эта аксиома неверна, если отрезок [a,b] поменять интервалом (a,b). К примеру, ƒ(x) - непрерывна на (0,1), но не ограничена потому что .

Определение. Большим значением функции y= ƒ(x) на отрезке [a,b] именуется такое ее значение ƒ(x), что ƒ(x)≤ ƒ(x1) при .

Определение. Минимальным значением функции y Свойства функций, непрерывных в точке.= ƒ(x) на отрезке [a,b] именуется такое ее значение ƒ(x), что ƒ(x)≥ ƒ(x1) при .

Аксиома 4 (2-ая аксиома Вейерштрасса)

Функция, непрерывная на отрезке [a,b], добивается в нем собственного меньшего m и большего M значения, т.е. , , что ƒ(x1)=m, ƒ(x2)=M.

y
b
a
x
m
M
x Свойства функций, непрерывных в точке.2
x1
0

Неубывающие и невозрастающие функции именуются однообразными.

Растущие и убывающие функции именуются строго однообразными.

Аксиома 5 (О непрерывности оборотной функции)

Пусть функция ƒ(x)определена, строго однообразна и непрерывна на неком промежутке X, и пусть Y – огромное количество ее значений. Тогда на огромном количестве Y оборотная функция однозначна, строго однообразна и Свойства функций, непрерывных в точке. непрерывна.

К примеру:

Функция y=sinx на увеличивается, непрерывна и огромное количество ее значений – [-1; 1]. По аксиоме 5 на [-1; 1] существует непрерывная, растущая оборотная функция со обилием значений : x=arcsiny. Если сейчас x и y поменять местами, т.е. разглядеть функцию y=arcsinx, то получим график:

y
x
0
-1
-1

32. Приращение аргумента, приращение функции. Понятие производной Свойства функций, непрерывных в точке.. Физический и геометрический смысл производной.

33. Правила дифференцирования. Таблица производных. Производная сложной функции.

Функция, имеющая производную в данной точке именуется дифференцируемой в данной точке.

Функция именуется дифференцируемой в данном промежутке, если она имеет производную в каждой точке данного промежутка.

Если просвет замкнутый, то на концах – односторонняя производная.

Аксиома Свойства функций, непрерывных в точке. 1 (зависимость меж непрерывностью и дифференцированием):

Если функция y=f(x) дифференцируема в данной точке, то она и непрерывна в ней.

Замечание: Оборотное не всегда правильно.

- в точке x=1 непрерывна, но не дифференцируема.

Пусть f(x) – дифференцируема в точке x, т.е. существует .

Т.к. , то переходя к лимиту

Вправду Свойства функций, непрерывных в точке. функция непрерывна (по необходимому и достаточному условию непрерывности).

Аксиома 2:

Производная суммы (разности) 2-ух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций.

Пусть , где - дифференцируемые функции.

Т.к. ,

переходя к лимиту

Таким макаром,

Следствие: Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна таковой же алгебраической сумме производных слагаемых.

Аксиома 3:

Производная 2-ух дифференцируемых функций Свойства функций, непрерывных в точке. определяется формулой

Следствие 1:

Неизменный множитель можно выносить за символ производной.

Следствие 2:

Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из их на другие:

К примеру:

Аксиома 4:

Производная личного 2-ух дифференцируемых функций определяется формулой

Разглядим сложную функцию , где x – независящая переменная, а - промежный аргумент.

Аксиома 5:

Если y Свойства функций, непрерывных в точке.=f(x) и - дифференцируемые функции собственных аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной этой функции по промежному аргументу на производную промежного аргумента по независящей переменной.

либо

К примеру:

Главные формулы дифференцирования:


34. Главные аксиомы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.

Ответ:Корнем либо нулем функции наз. такое значение аргумента. При котором это функция Свойства функций, непрерывных в точке. обращается в нуль

Т. Роля. Меж 2-мя разными корнями дифференцируемой функции содержаться само мало один корень ее производной

Т. Логранта. Если функция f(x) непрерывна [a,b] то существует такая точка С?(а,b) что f(b)-f(a)=f’(C)(b-a)-формула конечных приращений.

Т.Коши Свойства функций, непрерывных в точке..Если y=f(x) и q=µ(x)- две функции непрерывны на [a, b] и дифференцируемые на интервале (а и в).При исследовании функции может проявится необходимость нахождения предела дроби f(x) и µ(х) числитель и знаменатель которой стремятся к нулю либо бесконечность при х→а. Нахождение таких пределов наз. раскрытием неопределённостей соответственного Свойства функций, непрерывных в точке. вида База его правила Лопиталя.

Т. Лопиталя. Если функций f(х) дефференц. В округи точки a x=a, обращаются в нуль этой точке и существует предел то существует и предемл отношений самых функций равны лимиту отношение производной.

35. Дифференциация 1-го порядка, его характеристики, внедрение в приближенных вычислениях.

Ответ: Дифференциалом Свойства функций, непрерывных в точке. функции y=f(x) наз. произведение производной этой функции ,dx = другими словами дифференциал независемой переменной равен приращению dy= -формула для вычисления дифференциала. Другими словами производная функции равна отношению данной функции дифференциалу его аргумента

Характеристики

1)dc=0 с-const

2)Дифференциал алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равен таковой же алгебраической сумме дифференциалов слагаемых d Свойства функций, непрерывных в точке.(u-v-w)=du-dv+dw

3)Дифференциал произведение 2-ух дифференцируемых функций: d(uv)=udv+vdu

4)Дифференциал личного

5)Дифференциал сложной функции равен произведению производной первой функции по промежному аргументу на дифференциал этого промежного аргумента

36. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Дифференциалы высших порядков.

Ответ:Производная от производной F(X) наз. производной второго порядка Свойства функций, непрерывных в точке. f”(x)=(f’(x))’

В случае дифференцируемости производной , n? N производная порядка определяется равенством.f^(n)(x)=(f^n-1(x))

y=f(x)

f”(x)=(f’(x))’=d^2y/dx^2

f”’(x)=…=d^3y/dx^3

Дифференциал от дифференциала функции y=f(x) наз. дифференциалом 2 порядка

Дифференциалом n порядка наз. дифференциал Свойства функций, непрерывных в точке. от дифференциал (n-1)-го порядка.

37. Монотонность и экстремумы функций. Признак монотонности функции. Нужное и достаточное условие экстремума.

Ответ: Монотонность функции если в данном промежутке производная функции положительная то функция растет на этом промежутке если отрицательная то –убывает.

Нужное условие экстремума. Если экстремума дифференцируемой функции производная равна нулю. Так же функция может достигать Свойства функций, непрерывных в точке. экстремума в точке которой производной не существует.

1-ое достаточное условие. Если в точке х=х0 производная функции y=f(х) равна 0 и меняет символ при переходе через точку, то х0-точка экстремума, при этом если х0 точка максимума, символ изменяется с + на -, а если х0 точка минимума Свойства функций, непрерывных в точке. то символ изменяется с минуса на плюс

2-ое достаточное условие. Если в точке х=х0 1-ая производная функции y=f(x) равна нулю, а 2-ая отлична от нуля то х0 – точка экстремума при этом х0 точка минимума ,если f”(x0)>0,х0 точка максимума, если f” (x0)<0

38. Неровность и перегиб. Асимптоты графика функции Свойства функций, непрерывных в точке..

Ответ:График функции y=f(x) наз. Выпуклым вниз (ввысь ) в данном промежутке если он полностью размещен выше (ниже) касательной в его производной точке.

Признак неровности. Если 2-ая производная функции y=f(x) в данном промежутке положительна (f”(x)>0),то график ее является выпуклым вниз в этом промежутке Свойства функций, непрерывных в точке., а если f”(x) <0, то выпуклый ввысь в соответственном промежутке

Точкой перегиба графика y=f(x) наз. такая его точка M0,в какой изменяется направление неровности (М0 точка непрерывности функции )

Признак точки перегиба. Если в точке х=х0 2-ая производная функции y=f(x) обращается в нуль (либо не Свойства функций, непрерывных в точке. существует ) и меняет символ при переходе через нее , то М0 (х0,f(x0)) точка перегиба.

Асимптоты- прямые к которым неограниченно приближается данная линия , когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат.

39. Понятие функции нескольких переменных. Полосы и поверхность уровня. Предел и непрерывность ФНП.

ФНП –переменная величина z наз. функцией Свойства функций, непрерывных в точке. 2 переменных величин x и у, если в каждой паре допустимых значений (x,у) соответствует единственное значения z

Переменная величина U наз. функцией 3 переменных x,y,z, если каждой 3 паре допустимых значений.

Совокупа всех точек в каких определена ФНП наз. область определения функции .

Полосы уровня функции z=f(x,y) наз. геометрическое место Свойства функций, непрерывных в точке. точек для которых данная функция имеет одно и тоже значение. F(x,y)=с уравнение полосы уровня

Поверхность уровня функции 3 переменных u=f(x,y,z) наз. геометрическое место точек места x,y,z для которых данная функция имеет одно и тоже значение

40. Личные произведения 1-го порядка ФНП. Полный дифференциал ФНП Свойства функций, непрерывных в точке.. Личные произведение высших порядков ФНП.

Личной производной ФНП по одной из этих переменных наз. предел дела соответственного личного приращения функции к приращению данной переменной когда последние стремится к нулю.

При нахождении личной производной пользуется правилами дифференцирования функции одной переменной считая все другие аргументы неизменной.

Полный дифференциал ФНП-z Свойства функций, непрерывных в точке.=f(x,y) наз. основная часть полного приращения AZ,линейная относительно приращений аргументов дельта X,Y.

Личными производными высшего порядка функции z=f(x,y) наз. личные производственные от её личных производных =

Аналогично определяются личные производные третьего 4-ого и высших порядков

А именно = . Пробным образом определяются производные высшего порядка Свойства функций, непрерывных в точке. функции 3-х и поболее переменных

Личная производная второго порядка и выше взятая по разным переменным наз. смешанной личной производной .Если личные производные высшего порядка непрерывна то смешанные производные 1-го порядка не зависят от порядка дифференцирования.


svojstva-serdechnoj-mishci.html
svojstva-sinteticheskih-volokon.html
svojstva-slozhnih-sistem-parametri-sistemi.html