Свойства медиан треугольника

Аксиома.

Если основания 2-ух треугольников равны, то их площади относятся как высоты.

14. . Св-ва площадей мн-ков:

-Равные мн-ки имеют равные площади

-Если мн-ник составлен из нескольких мн-ков, то его полщадь будет равна сумме площадей этих мн-ков.

-Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Аксиома:

Площадь трапеции Свойства медиан треугольника равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Геометрия. Главные вопросы.

15. Аксиома Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Д-во:

Оборотная аксиома Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов 2-ух других сторон, то треугольник прямоугольный.

16.

Дк-во:

Подтверждение

Пусть ABC – данный треугольник. Дополним его до параллелограмма ABCD Свойства медиан треугольника , как показано на рисунке.

Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и CDA . Потому что эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна двойной площади треугольника ABC . Высота параллелограмма, соответственная стороне CB , равна высоте треугольника, проведенной к стороне CB . Отсюда следует утверждение аксиомы, и Аксиома подтверждена.

17. Пропорциональные отрезки Свойства медиан треугольника — отрезки, для длин которых производится пропорция.

Отношением отрезков AB и CD именуется отношение их длин, другими словами

Подобные треугольники — треугольники, у каких углы соответственно равны, и стороны 1-го пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

1-ый признак подобия треугольников:

Если два угла 1-го треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники Свойства медиан треугольника подобны.


Другими словами ∆ABC ~ ∆A1B1C1 ∠A=∠A1, ∠B=∠B1.

Дк-во:

18. . Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых производится пропорция.

Отношением отрезков AB и CD именуется отношение их длин, другими словами

Подобные треугольники — треугольники, у каких углы соответственно равны, и стороны 1-го пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника Свойства медиан треугольника.

2-ой признак подобия треугольников:

Если две стороны 1-го треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Дк-во:

Подтверждение

Пусть у треугольников ABC и и Докажем, что Переведем треугольник A 1 B 1 C 1гомотетией f с хоть каким центром и коэффициентом k в треугольник A Свойства медиан треугольника 2 B 2 C 2. Δ A 2 B 2 C 2 = Δ ABC . Вправду, Треугольники и ABC равны по первому признаку равенства треугольников (аксиома 4.1). По аксиоме 12.6 существует движение g , переводящее Δ A 2 B 2 C 2 в Δ ABC . Выполнив поначалу гомотетию f , а потом движение g , получим подобие g ○ f , которое переводит Δ A 1 B 1 C 1 в Δ ABC . Как следует Свойства медиан треугольника, Аксиома подтверждена.

19. . Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых производится пропорция.

Отношением отрезков AB и CD именуется отношение их длин, другими словами

Подобные треугольники — треугольники, у каких углы соответственно равны, и стороны 1-го пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

3-ий признак подобия треугольников:

Если три стороны 1-го треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то Свойства медиан треугольника такие треугольники подобны.

Дк-во:

20. Подобные треугольники — треугольники, у каких углы соответственно равны, и стороны 1-го пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Аксиома об отношении площадей схожих треугольников:

Отношение площадей 2 схожих треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Дк-во:

Пусть треугольники ABC и А1В1С1 подобны, при этом Свойства медиан треугольника коэффициент подобия равен k O, обозначим знаками S и S1 площади этих треугольников. Потому что A=A1, то

S/S1 = AB*AC/A1B1*A1C1

(по тереме об отношении площадей треугольника). По формулам имеем: АВ/А1В1 = k, AC/A1C1 = k

потому

S/S1 = k2

Аксиома подтверждена.

21. Медиана треугольника — это отрезок Свойства медиан треугольника, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Характеристики медиан треугольника

-Медиана разбивает треугольник на два треугольника схожей площади.

-Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая разделяет каждую из их в отношении 2:1, считая от верхушки. Эта точка называетсяцентром тяжести треугольника.

-Весь треугольник делится своими медианами на 6 равновеликих треугольников.

Медианы треугольника Свойства медиан треугольника пересекаются в одной точке, котораяделит каждую из их в отношении 2:1, считая от верхушки. Эта точка именуется центром масс треугольника

Примечательные точки треугольника
Примечательные точки треугольника – это неформальное заглавие для точек скрещения его медиан, высот , центров вписанной иописанной окружностей, также ряда других точек.

22.Биссектрисаугла - это луч с началом в верхушке угла Свойства медиан треугольника, делящий угол на две равные части

Аксиома о биссектрисе угла:

Любая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Оборотная аксиома:

Любая точка, лежащая снутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Следствие:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Д-во:

1)Возьмем произвольную точку М Свойства медиан треугольника на биссектрисе угла ВАС, проведем перпендикуляры MK и ML к прямым АВ и АС и докажем, что MK=ML. Разглядим прямоугольные треугольники АМК и AML. Они равны по гипотенузе и острому углу(АМ-общая гипотенуза, угол1=углу2 по условию). Как следует MK=ML

2) Пусть точка М лежит снутри угла ВАС и Свойства медиан треугольника равноудалена от его сторон АВ и АС. Докажем, что луч АМ- биссектриса угла ВАС. Проведем перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольники равны АМК и АМL равны по гипотенузе и катету(АМ- общая гипотенуза, MK=ML по усовию). Как следует, угол 1 = углу 2. Это Свойства медиан треугольника и значит, то что луч АМ является биссектрисой угла ВАС. Аксиома подтверждена.

Восхитительная точка- это точка скрещения биссектрис, высот и медиан.

23. Серединным перпендикуляром к отрезку именуется ровная, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Аксиома:

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка

Оборотная:

Любая точка, равноудаленная Свойства медиан треугольника от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Дк-во:

Пусть ровная m- серединный перпендикуляр к отрезку АВБ точка О- середина этого отрезка.

1)Разглядим произвольную точку М прямой m и докажем, что АМ=ВМ. Если точка М совпадает с точкой О, то это равенство правильно, потому Свойства медиан треугольника что О- середина отрезка АВ. Пусть М и О- разные точки. Прямоугольные треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум катетам(ОА=ОВ, ОМ- общий катет), потому АМ=ВМ.

2) Разгляди произвольную точку Р, равноудаленную от концов отрезка АВ, и докажем, что точка Р лежит на прямой m. Если Р- точка Свойства медиан треугольника прямой АВ, то она совпадает с серединой О отрезка АВ и потому лежит на прямой m. Если же точка Р не лежит на прямой АВ, то треугольник АРВ равнобедренный, потому что АР=ВР. Отрезок РО- медиана этого треугольника, а означает и высота. Как следует: РО параллельно АВ, потому прямые ОР и Свойства медиан треугольника m совпадают, т.е. Р- точка прямой m. Аксиома подтверждена.

Восхитительная точка- это точка скрещения биссектрис, высот и медиан.

24. Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из верхушки треугольника к прямой, содержащей обратную сторону

Аксиома:

Высоты треугольника (либо их продолжения) пересекаются в одной точке.

Дк-во:

Разглядим случайный треугольник АВС и Свойства медиан треугольника докажем, что прямые АА1, ВВ1 и СС1, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке. Проведем через каждую верхушку треугольника АВС прямую, параллельную обратной стороне. Полчим треугольник А2В2С2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Вправду, АВ=А2С и АВ=СВ2 как обратные стороны параллелограммов АВА2С Свойства медиан треугольника и АВСВ2, потому А2С =СВ2. Аналогично С2А=АВ2 и С2В=ВА2. Не считая того, как надо из построения, СС1перпендикулярноА2В2, АА1перпендикулярноВ2С2 и ВВ1перпендикулярноА2С2. Таким макаром, прямые АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2. Как Свойства медиан треугольника следует, они пересекаются в одной точке. Аксиома подтверждена.

Восхитительная точка- это точка скрещения биссектрис, высот и медиан.

Аксиома Чевы.

Три чевианы треугольника проходят через одну точку либо параллельны и тогда только тогда, когда

Пусть лежат на прямых треугольника . Прямые параллельны либо пересекаются в одной точке и тогда только тогда, когда

26. Если точки Свойства медиан треугольника и лежат соответственно на сторонах и треугольника либо на их продолжениях[1], то они коллинеарны и тогда только тогда, когда

где , и обозначают дела направленных отрезков.

27. Биссектриса угла треугольника —этолуч с началом в верхушке угла треугольника, делящий угол на два равных угла

Аксиома о биссектрисе:

Биссектриса внутреннего угла треугольника разделяет Свойства медиан треугольника обратную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Дк-во:

Дано: , — биссектриса угла .
Требуется обосновать: .

Подтверждение:

Проведем до скрещения с продолжением стороны . Стороны угла пересечены параллельными прямыми. Составим пропорцию: . Сравнивая эту пропорцию с той, которую необходимо обосновать, замечаем, что они отличаются только отрезками и . Разглядим эти отрезки. Они входят в Свойства медиан треугольника , в каком (как соответствующые при и секущей ) и . Но ( — биссектриса), отсюда . Как следует, . Заменим в приобретенной пропорции на : . Аксиома подтверждена

Подтверждена.

27(2). . Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых производится пропорция.

Отношением отрезков AB и CD именуется отношение их длин, другими словами

Обобщенная аксиома Фалеса:

Если параллельные прямые, пересекающиеся 2-мя данными прямыми, пересекаются Свойства медиан треугольника с первой прямой в точках А, В, С, а со 2-ой прямой соответственно в точках А1, В1, С1, то

Дк-во:

Проведем через точку А прямую АС1, параллельную прямой ВD(С1- точка скрещения этой прямой с прямой СD). Тогда треугольник ОАВ подобен треугольнику АСС1 по первому признаку подобия Свойства медиан треугольника треугольников (угол О= углу САС1, угол ОАВ=углу С). Как следует, ОА/АС=ОВ/АС1. Потому что АС1=ВD, то ОА/ОВ=АС/ВD. Аксиома подтверждена.

28. Отрезок АВ является средним пропорциональным(либо средним геометрическим) для отрезков АС и ВС, если:

Аксиома:

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное либо среднее Свойства медиан треугольника геометрическое меж гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу

Дк-во:

Пусть прямой угол в треугольнике-С, катеты АС и ВС. Проведём из верхушки прямого угла высоту СМ. Проекции катетов МА и МВ. Разглядим треугольники АВС И АМС. Они подобны по двум углам : оба прямые и угол А общий Свойства медиан треугольника. Запишем отношение сторон АВ/АС= ВС/МС= АС/МА Имеем АС в квадрате= АМ*АВ. ( х - есть среднее пропорциональное меж а и в если производится а/х= х/в х^2=а*в.)
Аналогично для треугольников АВС и ВМС ВС^2=АВ*ВМ.

Аксиома:

Высота в прямоугольном треугольнике есть среднее пропорциональное меж отрезками гипотенузы Свойства медиан треугольника.

Дк-во:

Разглядим треугольники АСМ и ВСМ. Они оба подобны треугольнику АВС, а означает подобны меж собой Запишем дела сторон ВМ/СМ=СМ/АМ СМ^2=АМ*ВМ.

29. Синусом острого прямого угла прямоугольного треугольника именуется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sinA= BC/AB

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника Свойства медиан треугольника именуется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cosA= AC/AB

Тангенсом острого прямоугольного треугольника именуется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

tgA=BC/AC

Основное тригонометрическое тождество:

Дк-во:

Пусть треугольник АВС прямоугольный (АВ-гипотенуза). sinA=ВС/АВ (1) cosA=AC/AB (2). Сейчас докажем справедливость основного тригонометрического тождества: . Из формул (1) и (2) получаем: sin^2A+cos Свойства медиан треугольника^2A=ВС^2/AB^2+AC^2/AB^2=BC^2+AC^2/AB^2. По аксиоме Пифагора BC^2+AC^2=AB^2, .

30.

31. Ровная, имеющая с окружностью только одну общую точку, именуется касательнойк окружности, а их общая точка именуется точкой касанияпрямой и окружности.

Аксиома:

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Дк-во:

Пусть р Свойства медиан треугольника-касательная к окружности с центром О. А- точка касания. Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА. Представим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Потому что перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра Свойства медиан треугольника О окружности до прямой р меньше радиуса. Как следует, ровная р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: ровная р- касательная. Таким макаром, ровная р перпендикулярна радиусу.

32. . Ровная, имеющая с окружностью только одну общую точку, именуется касательнойк окружности, а их общая точка именуется точкой касанияпрямой и окружности Свойства медиан треугольника.

Аксиома:

Если ровная проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Дк-во:

Из условия аксиомы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Потому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, как следует Свойства медиан треугольника, ровная и окружность имеют только одну общую точку. Но это и значит, что данная ровная является касательной к окружности. Аксиома подтверждена.

33. Угол с верхушкой в центре окружности именуется еецентральнм углом.

Угол, верхушка которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, именуется вписанным углом.

Аксиома:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую Свойства медиан треугольника он опирается.

Дк-во:

Пусть /_ АВС- вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС.Докажем, что /_ АВС= ½ дуги АС. Решение. Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, к примеру со стороной ВС. В данном случае дуга АС меньше полуокружности, потому /_ АОС=дугеАС. Потому что Свойства медиан треугольника угол АОС- наружный угол равнобедренного треугольника АВО, а углы ОВА и ВАО при основании р/б треугольника равны, то /_АОС= /_ОВА+/_ВАО=2/_ОВА. Отсюда следует, что 2/_ОВА=дугеАС либо /_АВС=/_ОВА=1/2дугиАС.Аксиома подтверждена.

34. Угол с верхушкой в центре окружности именуется еецентральнм углом.

Угол, верхушка которого лежит на окружности Свойства медиан треугольника, а стороны пересекают окружность, именуется вписанным углом.

Следствия из аксиомы о вписанном угле:

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

2) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность(поперечник)- прямой.

35. Угол с верхушкой в центре окружности именуется еецентральнм углом.

Угол, верхушка которого лежит на окружности, а стороны пересекают Свойства медиан треугольника окружность, именуется вписанным углом.

Аксиома о произведении отрезков 2-ух хорд:

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дк-во:

Пусть хорды АВ и СD пересекаются в точке Е. Докажем, что АЕ*ВЕ=СЕ*DE. Разглядим треугольники АDE и СВЕ. В этих Свойства медиан треугольника треугольниках углы ЕАD и ЕСВ равны, потому что они опираются на одну и ту же дугу ВD, а углы АЕD и СЕВ равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников, треугольник ADE~ треугольнику СВЕ. Отсюда следует, что АЕ/СЕ=DE/BE, либо АЕ*ВЕ=СЕ*DE. Аксиома подтверждена.

36.Аксиома Свойства медиан треугольника:

Медиана проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна половине гипотенузе.

37. Угол с верхушкой в центре окружности именуется еецентральнм углом.

Угол, верхушка которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, именуется вписанным углом.

Аксиома:

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Дк-во:

38. Угол с верхушкой в центре окружности Свойства медиан треугольника именуется еецентральнм углом.

Угол, верхушка которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, именуется вписанным углом.

Аксиома:

Если из одной точки вне окружности проведены две секущие, то произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей.

Дк-во:

39. Угол с верхушкой в центре окружности именуется еецентральнм углом.

Угол, верхушка которого Свойства медиан треугольника лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, именуется вписанным углом.

Аксиома:

Если АМ-касательная к окружности, а АВ- хорда окружности, то угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенный снутри угла МАВ.

Дк-во:


svyatoj-francisk-i-rozhdestvo-referat.html
svyatoj-isidor-sevilskij-referat.html
svyatoj-pavel-referat.html