Свойства обратной матрицы.

Лекция 4. Понятие оборотной матрицы. Характеристики оборотной матрицы. Нахождение оборотной матрицы. Вывод общей формулы для оборотной матрицы.

Квадратная матрица именуется оборотной по отношению к данной квадратной матрице, если ее умножение как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу. Для матрицы А оборотная матрица обозначается . По определению, .

Квадратную Свойства обратной матрицы. матрицу именуют особой (либо вырожденной), когда ее определитель равен нулю, и неособенной (либо невырожденной), когда ее определитель отличен от нуля.

Аксиома.Для того, чтоб квадратная матрица А имела оборотную, нужно и довольно, чтоб определитель матрицы А был отличен от нуля, т.е. чтоб матрица А была неособенной (невырожденной ).

Подтверждение. Разглядим процесс Свойства обратной матрицы. воззвания матрицы. Пусть А – неособенная квадратная матрица n-го порядка, определитель которой не равен нулю. Составим матрицу из алгебраических дополнений частей данной матрицы и потом транспонируем ее. Приобретенная матрица именуется союзной (либо присоединенной) по отношению к матрице А и обозначается :

.

Вычисляя произведения по правилам умножения матриц, получим

Докажем справедливость этих Свойства обратной матрицы. равенств на примере матрицы третьего порядка. Пусть , тогда

Согласно свойствам определителя все элементы произведения, не считая диагональных, равны нулю. Таким макаром, . Потому что определитель матрицы А не равен нулю, то .

Пример 1. Отыскать оборотную матрицу для матрицы .

1. Вычисляем определитель данной матрицы

Т.к. определитель не равен нулю, то оборотная Свойства обратной матрицы. матрица существует.

2. Находим алгебраические дополнения частей матрицы А.

3. Составляем союзную ( присоединенную )матрицу

.

4. Вычисляем оборотную матрицу .

5. Проверка:

Условия существования оборотной матрицы.

1. может существовать только тогда, когда А – квадратная матрица.

2. существует исключительно в том случае, когда определитель .

Характеристики оборотной матрицы.

Если А есть квадратная невырожденная (т.е. её определитель не равен Свойства обратной матрицы. нулю ) матрица, то оборотная к ней матрица обладает последующими качествами:

1. Оборотная матрица перестановочна с А. Оба произведения дают единичную матрицу .

2. Оборотная к А матрица является единственной. , и тогда только тогда, когда .

3. Определитель оборотной к А матрицы равен оборотной величине определителя матрицы А: .

4. Оборотная матрица является невырожденной.

5. Оборотной матрицей к будет матрица Свойства обратной матрицы.

6. Матрица, оборотная к транспонированной, равна транспонированной оборотной матрице :

7. Если матрица симметрическая, то таковой же будет оборотная матрица.

8. Матрица, оборотная к произведению матриц, равна произведению оборотных матриц, взятых в оборотном порядке при условии, что оборотные матрицы есть. Если есть , то

Получение оборотной матрицы при помощи ее расчленения на Свойства обратной матрицы. подматрицы.

Вычисление оборотной матрицы нередко может быть облегчено при помощи расчленения ее на четыре подматрицы, при этом верхняя левая и нижняя правая подматрицы должны быть квадратными. , где A и D – квадратные подматрицы. Процедура получения оборотной матрицы обоснована тем фактом , что произведение этих матриц должно быть равно единичной матрице . Отсюда по правилу Свойства обратной матрицы. умножения матриц мы имеем:

При условии, что A и D- невырожденные матрицы, из (3) следует . Подставим в (1) получим . Аналогично из (2) и (4): .

. В согласовании с этими формулами в процессе вычислений будет нужно отыскать четыре оборотных матрицы.

Если же использовать другое тождество: , то мы получим более комфортные для расчета выражения , откуда

Из (6) следует , а Свойства обратной матрицы. из (8) .

Так как все восемь уравнений справедливы, то мы можем пользоваться хоть какими 4-мя уравнениями, достаточными для нахождения неведомых матриц.

1-ый вариант . Воспользуемся 2-мя уравнениями из первой четверки – первым и третьим, и 2-мя уравнениями из 2-ой четверки шестым и восьмым. Соответственно из (1) и (3) получаем выражения для Свойства обратной матрицы. X и Y: , , а из (6) и (8) - и . При проведении расчетов по этим формулам нужно найти только две оборотные матрицы.

Порядок расчета последующий:

2-ой вариант. Можно избрать другую четверку уравнений (2),(4), (5) и (7). Из их мы получим последующие выражения , ,

, . Приведем полный порядок расчета:

При всем этом невырожденной в первом случае должна быть матрица Свойства обратной матрицы. D, а во 2-м A.

Выбор процедуры расчета определяется качествами матрицы М и ее подматриц. В каждом отдельно взятом случае употребляются те характеристики, которые могут в большей степени упростить расчеты. К примеру, если , то лучше воспользоваться первым расчетом, т.к. в нем пользуются матрицами . Эти матрицы достаточно просто отыскать Свойства обратной матрицы. так как D – диагональная матрица, а А имеет размеры 2х2.

Пример 2.При помощи разбиения на клеточки направить матрицу

Обозначим

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Таким макаром , можно составить матрицу

Упражнения.

1. Отыскать оборотные матрицы.

а) б) в)

Ответы:

а) б)

в)


svyaz-biogeohimii-s-drugimi-naukami.html
svyaz-demokratii-s-formirovaniem-nacij.html
svyaz-dominanti-i-uslovnogo-refleksa-referat.html